已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为(1)/(2)，过F₁的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF₂的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．

Answer 1

（I）由题意知，4a=8，所以a=2．
因为e＝(1)/(2)，
所以(b2)/(a2)＝(a2−c2)/(a2)＝1−e2＝(3)/(4)，
所以b²=3．
所以椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（II）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x₀，x₀），B（x₀，-x₀）．
又A，B两点在椭圆C上，
所以(x02)/(4)+(x02)/(3)＝1，x02＝(12)/(7)．
所以点O到直线AB的距离d＝√((12)/(7))＝(2√(21))/(7)．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由

y＝kx+m

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由已知△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
所以x1+x2＝−(8km)/(3+4k2)，x1x2＝(4m2−12)/(3+4k2)．
因为OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
所以x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2＝0．
所以(k2+1)(4m2−12)/(3+4k2)−(8k2m2)/(3+4k2)+m2＝0．
整理得7m²=12（k²+1），满足△＞0．
所以点O到直线AB的距离d＝(|m|)/(√(k2+1))＝√((12)/(7))＝(2√(21))/(7)为定值．