一个数的所有约数和怎么求?

Question

一个数的所有约数和怎么求?

Answer 1

【典型例题】
例1.将下列八个数21、242、66、65、25、33、35、39平均分成两组,使这两组数的乘积相等,如何分?
要把这八个数分成两组,每组四个数,要使每组四个数的乘积相等.就必须保证每组中的四个数所含的质因数相同,而且相同质因数的个数必须完全相同.要达到这个目的,先要把这八个数分别分解质因数.
21=3×7 242=2×11×11 25=5×5
39=3×13 35=5×7 33=3×11
66=2×3×11 65=5×13
这八个数的全部质因数中,一共有2个2,4个3,4个5,2个7,4个11,2个13,平均分成两组时,每组数里应含有1个2,2个3,2个5,1个7,2个11,1个13,这样得到的两个乘积才会相等.
我们可以搭配成：21、242、25、39和35、33、66、65两组.
例2.72共有多少个不同的约数?
同学们已经学过用枚举的方法求一个数的约数.
72的约数有：1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72共12个.
如果求一个较大数的约数个数,用这种方法一个一个去枚举的话,那是非常麻烦的.这里向同学们介绍一种新的方法.
先将72分解质因数,72=2×2×2×3×3=23×32
不难看出,72的全部约数是23的约数（1,2,22,23）与32的约数（1,3,32）之间的两两乘积.下面我们将72的全部约数用数阵形式列出：
1 3 32（9）
2 2×3（6） 2×32（18）
22（4） 22×3（12） 22×32（36）
23（8） 23×3（24） 23×32（72）
这里一共有4×3=12（个）约数,也就是在分解质因数时,72=23×32中,对23的约数有（3+1）种选择：1,2,4,8对32的约数有（2+1）种选择：1,3,9.
因此,72的约数个数是：（3+1）×（2+1）=12（个）
这种方法对一般情形都适用.
如：144=24×32 144的约数个数是（4+1）×（2+1）=15（个）.
今后同学们再求一个数约数个数时,可以用这个结论.
一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（指数）加1的连乘积.
例3.求72所有约数的和是多少?
我们观察72的全部约数
1 3 32
2 2×3（6） 2×32（18）
22（4） 22×3（12） 22×32（36）
23（8） 23×3（24） 23×32（72）
（1+2+22+23）+（1+2+22+23）×3+（1+2+22+23）×32
=（1+2+22+23）×（1+3+32）
这说明,72=23×32的约数和是23的约数和与32的约数和的乘积.
这个方法对一般情形也适用.
今后在求一个合数的所有约数的和时,可以用下面的结论：
求一个合数的所有约数的和,先将这个合数分解质因数,将仅含一个质因数的全部约数相加,再将这些和相乘,则乘积就是全部约数的和.
例4.2520共有多少个约数?它们全部约数的和是多少?
2520=23×32×5×7
2520的约数个数为：（3+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）=48（个）
2520的全部约数和为：（1+2+22+23）×（1+3+32）×（1+5）×（1+7）=9360