PF2对于一般的椭圆,设角F1PF2=a,则三角形F1PF2的面积为?我知道结果是b^2tan(a/2),但对推理过程不是很懂,

Question

PF2对于一般的椭圆,设角F1PF2=a,则三角形F1PF2的面积为?
我知道结果是b^2tan(a/2),但对推理过程不是很懂,

Answer 1

设∠F₁PF₂=α,椭圆S=b²tan(α/2).
椭圆中,对于焦点△F1PF2,设∠F1PF2=θ,PF1=m,PF2=n
则m+n=2a
在△F1PF2中,由余弦定理:
(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ
即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)
所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2
所以mn=2b^2/(1+cosθ)
S=(mnsinθ)/2.(正弦定理的三角形面积公式)
=b^2*sinθ/(1+cosθ)
=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2
=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)
=b^2*tan(θ/2)