偶数个人围在一个圆桌旁边在一起开会.偶数个人围在一个圆桌旁边在一起开会,中间休息后,他们依不同次序围着桌子又重新坐下.证明：至少又两个人,他们之间的人数在休息前与休息后是相

Question

偶数个人围在一个圆桌旁边在一起开会.
偶数个人围在一个圆桌旁边在一起开会,中间休息后,他们依不同次序围着桌子又重新坐下.证明：至少又两个人,他们之间的人数在休息前与休息后是相等的.

Answer 1

设共有2n个人,第一次坐位置为i1,i2.i2n,后来位置为j1,j2.j2n
若结论不成立,则对任意两人p,q都有 ip-iq与jp-jq模2n不同余
移项得ip-jp与iq-jq模2n不同余
即i1-j1,i2-j2,i3-j3.,i2n-j2n是模2n的完全剩余系,
所以,从1到2n求和（ik-jk） 同余 （1+2+3+...+2n） 同余 n （mod2n）
显然i1,i2,i3.i2n j1,j2,j3.j2n 都是模2n的完全剩余系
就有求和（ik）同余 求和（jk）（mod2n）
与求和（ik-jk） 同余2n （mod2n）矛盾!
所以结论成立