（2014•荆州）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=3，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E

Question

（2014•荆州）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=√(3)，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）求证：四边形ABHP是菱形；
（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；
（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．

Answer 1

（1）证明：连接OH，如图①所示．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．
∵HP∥AB，
∴∠ANH+∠BAD=180°．
∴∠ANH=90°．
∴HN=PN=(1)/(2)HP=(3)/(2)．
∵OH=OA=√(3)，
∴sin∠HON=(HN)/(OH)=(√(3))/(2)．
∴∠HON=60°
∵BD与⊙O相切于点H，
∴OH⊥BD．
∴∠HDO=30°．
∴OD=2√(3)．
∴AD=3√(3)．
∴BC=3√(3)．
∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．
∴tan∠BDA=(AB)/(AD)=(√(3))/(3)．
∴AB=3．
∵HP=3，
∴AB=HP．
∵AB∥HP，
∴四边形ABHP是平行四边形．
∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，
∴BA与⊙O相切于点A．
∵BD与⊙O相切于点H，
∴BA=BH．
∴平行四边形ABHP是菱形．

（2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上．
如图②所示，点G落到AD上．

∵EF∥BD，
∴∠FEC=∠BDC．
∵∠BDC=90°-30°=60°，
∴∠CEF=60°．
由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．