试叙述一致收敛的定义，并证明：fn（x）=xn在[0，1]上不一致收敛，但在[0，b]（b<1）一致收敛．

Question

试叙述一致收敛的定义，并证明：f_n（x）=xⁿ在[0，1]上不一致收敛，但在[0，b]（b<1）一致收敛．

Answer 1

证明：计算可得，

lim

n→∞

fn(x)=f(x)=

0	0≤x<1
1	x=1

∃ɛ=(1)/(3)，对于任意自然数n，存在x_n=

n

(1)/(2)

∈（0，1），使得
|f_n（x_n）-S（x_n）|=xnn=(1)/(2)>ɛ，
因此，f_n（x）=xⁿ在[0，1]上不一致收敛．
当b<1时，
∀ɛ>0，∃N>(lnɛ)/(lnb)，当n>N时，
∀x∈[0，b]，
|f_n（x）-S（x）|=xⁿ =e^nlnx<e^Nlnb<e^lnɛ=ɛ，
所以f_n（x）=xⁿ在[0，b]（b<1）一致收敛．