小球在流体中运动时，它将受到流体阻碍运动的粘滞阻力．实验发现当小球相对流体的速度不太大时，粘滞阻力F=6πηvr，式中r为小球的半径，v为小球相对流体运动的速度，η为粘滞系数，由

Question

小球在流体中运动时，它将受到流体阻碍运动的粘滞阻力．实验发现当小球相对流体的速度不太大时，粘滞阻力F=6πηvr，式中r为小球的半径，v为小球相对流体运动的速度，η为粘滞系数，由液体的种类和温度而定，现将一个半径r=1.00mm的钢球，放入常温下的甘油中，让它下落，已知钢球的密度ρ=8.5×10³ kg/m³，常温下甘油的密度ρ₀=1.3×10³ kg/m³，甘油的粘滞系数η=0.80（g取10m/s²）．
（1）钢球从静止释放后，在甘油中做什么性质的运动？
（2）当钢球的加速度a=g/2时，它的速度多大？
（3）钢球在甘油中下落的最大速度v_m是多少？

Answer 1

（1）钢球从静止释放后，受到向下的重力和向上的黏滞阻力和浮力，由题F=6πηvr，可知阻力随速度的增大而增大，则钢球的合力减小，加速度减小，钢球做加速度减小的变加速运动．当阻力、浮力与重力平衡条件时做匀速直线运动．
（2）小球受重力、阻力、浮力作用下做加速运动，根据牛顿第二定律有：mg-F_浮-F₁=ma
由题意有：m=ρ(4)/(3)πr3，F浮=ρ0(4)/(3)πr3g，F₁=6πηvr
代入有：ρ(4)/(3)πr3g-ρ0(4)/(3)πr3g-6πηvr=m(g)/(2)
解得：v=(((1)/(2)ρ-ρ0)(4)/(3)πr3g)/(6πηr)=(2.95×103×(4)/(3)×π×(1×10-3)3×10)/(6π×0.80×1×10-3)m/s=2.46×10-2m/s
（3）最终钢球做匀速运动，速度最大，由平衡条件得：
mg=F+F_浮；
即 ρ•(4)/(3)πr3g=6πηvmr+ρ0•(4)/(3)πr3g
解得：vm=(2(ρ-ρ0)r2g)/(9η)=(2×(8.5×103-1.3×103)×(10-3)2×10)/(9×0.80)m/s=0.02m/s
答：：（1）钢珠从静止释放后，在甘油中先做加速度减小的加速运动，最后做匀速运动；
（2）当钢珠的加速度a=(g)/(2)时，它的速度为2.46×10^-2m/s；
（3）钢球在甘油中下落的最大速度v_m是0.02m/s．