已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2n+c．（Ⅰ）求c的值并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=Sn+2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ+c．
（Ⅰ）求c的值并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=S_n+2n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）由S_n=2ⁿ+c得，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，…（2分）
 当n=1时，S₁=2¹+c=2+c=a₁，
∵数列{a_n}为等比数列，
∴(a2)/(a1)＝(2)/(2+c)=(a3)/(a2)=2　…（4分）
解得c=-1，则a₁=1   …（5分）
∴数列{a_n}的通项公式：an＝2n−1　…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得S_n=2ⁿ-1，∴b_n=S_n+2n+1=2ⁿ+2n   …（8分）
则T_n=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）+2（1+2+3+…+n）　…（9分）
=(2(1−2n))/(1−2)+2×(n(1+n))/(2)=2ⁿ⁺¹-2+n（n+1）
=2ⁿ⁺¹+n²+n-2　…（12分）