某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π．设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的

Question

某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π．设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S．

（1）写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积S最小，并求出最小值．

Answer 1

（1）据题意，可知πx²h=3π，得h=(3)/(x2)，
S=(1)/(2)•4πx2+πx2+2πx•(3)/(x2)=3πx2+(6π)/(x)，(x>0)
（2）S′=6πx-(6π)/(x2)，
令S′=0，得x=±1，舍负，
当S′（x）>0时，解得x>1，函数S（x）单调递增，
当S′（x）<0时，解得0<x<1，函数S（x）单调递减，
故当x=1时，函数有极小值，且是最小值，S（1）=9π
答：当圆柱的底面半径为1时，可使表面积S取得最小值9π．