怎样求解一阶非线性微分方程具体例子如下：y''=e^(2y),y(0)=y'(0)=0:求其通解和初始条件下的特解,

Question

怎样求解一阶非线性微分方程 具体例子如下：y''=e^(2y),y(0)=y'(0)=0:求其通解和初始条件下的特解,

Answer 1

这是二阶方程了.
可以设y'=p=dy/dx
则y"=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
代入方程得：pdp/dy=e^(2y)
即pdp=e^(2y)dy
2pdy=e^(2y)d(2y)
积分：p^2=e^2y+c1
由y(0)=0,y'(0)=0,得：0=e^0+c1,得：c1=-1
因此有：p=√(e^2y-1)
得：dy/√(e^2y-1)=dx
左边积分为：令t=√(e^2y-1),得：y=1/2*ln(t^2+1),dy=tdt/.(t^2+1)
∫dt/(t^2+1)=arctant=arctan√(e^2y-1)
右边积分为：x+c2
因此有：arctan√(e^2y-1)=x+c2
代入y(0)=0得：arctan√0=c2=0
因此有：arctan√(e^2y-1)=x
即：√(e^2y-1)=tanx
y=1/2*ln[(tanx)^2+1]