利用塞瓦定理可以简便地证明重心定理、内心定理和垂心定理：

Question

利用塞瓦定理可以简便地证明重心定理、内心定理和垂心定理：

Answer 1

证明：①如果AD，BE，CF是△ABC的中线，则BD=DC，CE=AE，AF=FB．
∴(BD)/(DC)•(CE)/(CA)•(AF)/(FB)＝1，
∴AD，BE，CF三条中线交于一点；

②如果AD，BE，CF是△ABC的内角平分线，
则(BD)/(DC)＝(AB)/(AC)，(CE)/(EA)＝(BC)/(AB)，(AF)/(FB)＝(AC)/(BC)．
∴(BD)/(DC)•(CE)/(EA)•(AF)/(FB)＝(AB)/(AC)•(BC)/(AB)•(AC)/(BC)＝1，
因此AD，BE，CF三条内角平分线交于一点；

③如果AD，BE，CF是△ABC的三条高线，
∵△ABD∽△CBF，
∴(BD)/(FB)＝(AB)/(BC)，
∵△ACD∽△BCE，
∴(CE)/(CD)＝(BC)/(AC)，
∵△ABE∽△ACF，
∴(AF)/(AE)＝(AC)/(AB)．
∴(BD)/(DC)•(CE)/(EA)•(AF)/(FB)＝(BD)/(FB)•(CE)/(DC)•(AF)/(EA)＝(AB)/(BC)．(BC)/(AC)•(AC)/(AB)=1，
因此AD，BE，CF三条高线或延长线交于一点．