已知函数f（x）=log2x-1的定义域为[1，16]，函数g（x）=[f（x）]2+af（x2）+2（1）求函数y=g（x）的定义域；（2）求函数y=g（x）的最小值；（3）若函数y=g（x）的图象恒在x轴的上方，求实数a的取

Question

已知函数f（x）=log₂x-1的定义域为[1，16]，函数g（x）=[f（x）]²+af（x²）+2
（1）求函数y=g（x）的定义域；
（2）求函数y=g（x）的最小值；
（3）若函数y=g（x）的图象恒在x轴的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由抽象函数的表达式可得：
x∈[1，16]，x²∈[1，16]，
∴函数y=g（x）的定义域为[1，4]；
（2）y=g（x）=[f（x）]²+af（x²）+2，
令t=log₂x，t∈[0，2]，
g（x）=G（t）=t²+（2a-2）t-a+3=（t+a-1）²-a²+a+2，
当-a+1<0即a≥1时，g（x）_min=g（0）=-a+3；
当-a+1>2即a<-1时，g（x）_min=g（2）=3a+3；
当2≥-a+1≥0即-1≤a<1时，g（x）_min=-a²+a+2．
（3）函数y=g（x）的图象恒在x轴的上方，
∴g（x）的最小值大于零，
当-a+1<0即a>1时，g（x）_min=g（0）=-a+3>0；
∴1当-a+1>2即a≤-1时，g（x）_min=g（2）=3a+3>0；
∴不成立；
当2>-a+1>0即-1min=-a²+a+2>0，
∴-1故a的范围为-1