一质量为m=0.5kg的小物体从足够高的光滑曲面上自由滑下，然后滑上一水平传送带．已知物体与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.2，传送带水平部分的长度L=5m，两端的传动轮半径为R=0.2m，在电

Question

一质量为m=0.5kg的小物体从足够高的光滑曲面上自由滑下，然后滑上一水平传送带．已知物体与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.2，传送带水平部分的长度L=5m，两端的传动轮半径为R=0.2m，在电动机的带动下始终以ω=15rad/s的角速度沿顺时针匀速转运，传送带下表面离地面的高度h不变．如果物体开始沿曲面下滑时距传送带表面的高度为H，初速度为零，g取10m/s²．求；
（1）当H=0.2m时，物体通过传送带过程中，电动机多消耗的电能．
（2）当H=1.25时，物体通过传送带后，在传送带上留下的划痕的长度．
（3）H在什么范围内时，物体离开传送带后的落地点在同一位置．

Answer 1

（1）传送带匀速运动的速度 v=Rω=0.2×15=3m/s
物块与传送带间有相对运动时的加速度大小 a=(f)/(m)=2m/s²；
当H=0.2m时，物体沿曲面下滑的过程中机械能守恒，则
  mgH₁=(1)/(2)m

v

2 1

得 v₁=√(2gH1)=2m/s
 相对滑动时间 t₁=(v-v1)/(a)=(3-2)/(2)s=0.5s
 物块对地位移 s₁=v₁t₁+(1)/(2)a

t

2 1

=2.5m
传送带前进的位移 s₂=vt₁=1.5m
所以上述过程中电动机多消耗的电能 W=Q+△E_k=μmg（s₂-ss₁）+(1)/(2)m(v2-

v

2 1

)=1.5J
（2）当H₂=1.25时，物块滑上传送带的速度为 v₂．
由mgH₂=(1)/(2)m

v

2 2

，得 v₂=√(2gH2)=5m/s>v
则物块减速时间 t₂=(v2-v)/(a)=1s
物块前进距离  s₁′=v₂t₂-(1)/(2)a

t

2 2

=4m<L
t₂时间内传送带前进 s₂′=vt₂=3m
故划痕的长度△s=s₁′-s₂′=1m
（3）设物体滑上传送带的初速度为v₃时，减速至右端的速度刚好为v，则 v²-

v

2 3

=2aL
得

v

2 3

=29（m/s）²；
又 mgH₃=(1)/(2)m

v

2 3

H₃=1.45m
则当H≤1.45m时，物体离开传送带后的落地点在同一位置．
答：
（1）当H=0.2m时，物体通过传送带过程中，电动机多消耗的电能是1.5J．
（2）当H=1.25时，物体通过传送带后，在传送带上留下的划痕的长度为1m．
（3）当H≤1.45m时，物体离开传送带后的落地点在同一位置．