已知椭圆短轴的一个端点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于、两点，若．求

Question

已知椭圆 短轴的一个端点为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 交椭圆 于 、 两点，若 ．求

Answer 1

已知椭圆 短轴的一个端点为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 交椭圆 于 、 两点，若 ．求

（1）椭圆 的标准方程 ；（2） .

试题分析：（1）由已知得 ，又 联立可解得 ，从而可求椭圆 的标准方程；
（2）先设A(x ₁ ，y ₁ )，B(x ₂ ，y ₂ )，把直线方程和椭圆方程联立得到一个关于 的二次方程，再利用弦长公式即可求出 .
试题解析：（1）由题意可设椭圆C的标准方程为 ( > >0)．
由已知b＝1，所以 ，因为 ＝，∴a ² ＝9，b ² ＝1.
∴椭圆C的标准方程为＋y ² ＝1.                 6分
（2）设A(x ₁ ，y ₁ )，B(x ₂ ，y ₂ )．由 ，
得                8分
∴x ₁ ＋x ₂ ＝ ，x ₁ x ₂ ＝ ，
∴|AB|＝＝ ＝.
∴ ，解得 .                12分