高数中关于微分方程的通解问题,y＂+y'=xe^x的通解,

Question

高数中关于微分方程的通解问题,y＂+y'=xe^x的通解,

Answer 1

其齐次方程为y＂+y'=0
它的特征方程是
r²+r=0 ,解为r1=0,r2=-1
则齐次方程的通解是
Y=C1+C2·e^(-x)
---------------------
令F(D)=D²+D,则一个特解为
y*=xe^x/F(D-1)
=e^x·[x/F(D-1)]
=e^x· x/[(D-1)²+(D-1)]
=e^x· x/[(D-1)·D]
=e^x· x·[1/(D-1) - 1/D]
=e^x· x·[-1-D - 1/D]
=e^x· [-x -D(x) - ∫x dx]
=e^x· [-x -1 - x²/2 +C]
= -x·e^x - e^x - x²·e^x /2 +C·e^x