如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a（a<0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1

Question

如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax²-2ax-3a（a<0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为(5)/(4)，求a的值；
（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）当y=0时，ax²-2ax-3a=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
对称轴为直线x=(-1+3)/(2)=1；
（2）∵直线l：y=kx+b过A（-1，0），
∴0=-k+b，
即k=b，
∴直线l：y=kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax²-2ax-3a=kx+k，
即ax²-（2a+k）x-3a-k=0，
∵CD=4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴-3-(k)/(a)=-1×4，
∴k=a，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a；
（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax²-2ax-3a），
则F（x，ax+a），EF=ax²-2ax-3a-ax-a=ax²-3ax-4a，
∴S_△ACE=S_△AFE-S_△CEF=(1)/(2)（ax²-3ax-4a）（x+1）-(1)/(2)（ax²-3ax-4a）x=(1)/(2)（ax²-3ax-4a）=(1)/(2)a（x-(3)/(2)）²-(25)/(8)a，
∴△ACE的面积的最大值=-(25)/(8)a，
∵△ACE的面积的最大值为(5)/(4)，
∴-(25)/(8)a=(5)/(4)，
解得a=-(2)/(5)；
（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax²-2ax-3a=ax+a，即ax²-3ax-4a=0，
解得：x₁=1，x₂=4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
设P（1，m），
①若AD是矩形ADPQ的一条边，
则易得Q（-4，21a），
m=21a+5a=26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，
∴AD²+PD²=AP²，
∴5²+（5a）²+3²+（26-5a）²=2²+（26a）²，
即a²=(1)/(7)，
∵a<0，
∴a=-(√(7))/(7)，
∴P（1，-(26√(7))/(7)）；
②若AD是矩形APDQ的对角线，
则易得Q（2，-3a），
m=5a-（-3a）=8a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD=90°，
∴AP²+PD²=AD²，
∴（-1-1）²+（8a）²+（1-4）+（8a-5a）²=5²+（5a）²，
即a²=(1)/(4)，
∵a<0，
∴a=-(1)/(2)，
∴P（1，-4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，-

作业帮用户 2017-10-29

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议