用数学归纳法证明：（1+1)（1+1/3）…(1+1/2n-1)>根号下2n+1(n≥2,n属于正整数)

Question

用数学归纳法证明：（1+1)（1+1/3）…(1+1/2n-1)>根号下2n+1(n≥2,n属于正整数)

Answer 1

1º
当n=2时,左=8/3
右=√5
(8/3)²=64/9>5
所以左>右
2º
假设n=k(k≥2)时,结论成立,即：
(1+1)（1+1/3）…(1+1/2k-1)>√2k+1
那么n=k+1时,
(1+1)（1+1/3）…(1+1/2k-1).(1+1/(2k+3))>(√2k+1).(1+1/(2k+1))=(√2k+1).(k+2)/(2k+1)=
=(2k+2)/(√(2k+1))=√4k²+8k+4)/(√(2k+1))>√4k²+8k+3)/(√(2k+1))=√(2k+3)√(2k+1)/√(2k+1)
=√(2k+3)=√2(k+1)+1
即n=k+1时结论也成立,
由12可知：结论对于一切的自然数n≥2时都成立!
所以原命题成立