二重积分极坐标法r的取值范围计算∫∫(x+y)dxdy,其中D:x²+y²≦x+y.x=rcosθ,y=rsinθ,其中D=｛(r,θ)|-π/4≦θ≦3π/4,0≦r≦sinθ+cosθ｝请问r的范围是怎么算出来的?

Question

二重积分极坐标法r的取值范围
计算∫∫(x+y)dxdy,其中D:x²+y²≦x+y.
x=rcosθ,y=rsinθ,其中D=｛(r,θ)|-π/4≦θ≦3π/4,0≦r≦sinθ+cosθ｝
请问r的范围是怎么算出来的?

Answer 1

根据极坐标和直角坐标的转化公式,代人D的不等式中即可,极坐标的基本公式x=rcosθ,y=rsinθ,由此可知x²+y²=r^2,代人x²+y²≦x+y中有r^2≤rcosθ+rsinθ,由于r≥0,所以0≦r≦sinθ+cosθ