已知函数f（x）=2sinx+tanx-2x．（1）证明：函数f（x）在(-π2，π2)上单调递增；（2）若x∈(0，π2)，f（x）<mx2，求m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=2sinx+tanx-2x．
（1）证明：函数f（x）在(-(π)/(2)，(π)/(2))上单调递增；
（2）若x∈(0，(π)/(2))，f（x）<mx²，求m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：f′(x)=cosx+(1)/(cos2x)-2，
因为x∈(-(π)/(2)，(π)/(2))，所以cosx∈（0，1]，
于是f′(x)=2cosx+(1)/(cos2x)-2≥cos2x+(1)/(cos2x)-2≥0（等号当且仅当x=0时成立）．
故函数f（x）在(-(π)/(2)，(π)/(2))上单调递增．
（2）由（1）得f（x）在(0，(π)/(2))上单调递增，
又f（0）=0，所以f（x）>0，
（ⅰ）当m≤0时，f（x）>0≥mx²成立．
（ⅱ）当m>0时，令p（x）=sinx-x，则p'（x）=cosx-1，
当x∈(0，(π)/(2))时，p'（x）<0，p（x）单调递减，
又p（0）=0，所以p（x）<0，
故x∈(0，(π)/(2))时，sinx<x．（*）
由（*）式可得f（x）-mx²=sinx+tanx-2x-mx²<tanx-x-mx²，
令g（x）=tanx-x-mx²，则g'（x）=tan²x-2mx
由（*）式可得g′(x)<(x2)/(cos2x)-2mx=(x)/(cos2x)(x-2mcos2x)
令h（x）=x-2mcos²x，得h（x）在(0，(π)/(2))上单调递增，
又h（0）<0，h((π)/(2))>0，所以存在t∈(0，(π)/(2))使得h（t）=0，
即x∈（0，t）时，h（x）<0，
所以x∈（0，t）时，g'（x）<0，g（x）单调递减，
又g（0）=0，所以g（x）<0，
即x∈（0，t）时，f（x）-mx²<0，与f（x）>mx²矛盾．
综上，满足条件的m的取值范围是（-∞，0]．