如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若AA1⊥AD，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．

Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D为BC的中点．
（1）若AA₁⊥AD，求证：AD⊥DC₁；
（2）求证：A₁B∥平面ADC₁．

Answer 1

证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．…（2分）
因为AA₁⊥AD，AA₁∥CC₁，所以AD⊥CC₁，…（4分）
因为CC₁∩BC=C，所以AD⊥平面BCC₁B₁，…（6分）
因为DC₁⊂平面BCC₁B₁，所以AD⊥DC₁  …（7分）
（2）连结A₁C，交AC₁于点O，连结OD，则O为A₁C的中点．
因为D为BC的中点，所以OD∥A₁B  …（9分）
因为OD⊂平面ADC₁，A₁B⊄平面ADC₁，…（12分）
所以A₁B∥平面ADC₁ …（14分）