如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt∆FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E,F分别落

Question

如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt∆FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米，AD=10 米，记∠BHE=θ.
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域；
（2）若sinθ+cosθ= ，求此时管道的长度L；
（3）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？
并求出此时管道的长度.

Answer 1

（1）EH= ，FH=      EF=   分
由于BE=10tanθ≤10 , AF= ≤10  故 ≤tanθ≤ ,θ∈[ , ]分
L= + + ，θ∈[ , ]
(2) sinθ+cosθ= 时，sinθ•cosθ= ,    L=20( +1);
(3)L= + +     设sinθ+cosθ="t" 则sinθ•cosθ=
由于θ∈[ , ]，所以t=sinθ+cosθ= sin(θ+ )∈[ , ]
L= 在[ , ]内单调递减，
于是当t= 时，即θ= ,θ= 时L的最大值20( +1)米

略