已知△ABC中,BC>AC,CH是AB边上的高,且满足AC²/BC²=AH/BH,证明::∠A+∠B=90°或∠A—∠B=90°

Question

已知△ABC中,BC>AC,CH是AB边上的高,且满足AC²/BC²=AH/BH,证明::∠A+∠B=90°或∠A—∠B=90°

Answer 1

证明：根据勾股定理：AC²/BC²=(AH²+CH²)/(BH²+CH^)=AH/BH
BHAH²+BHCH²=AHBH²+AHCH²
AH(AHBH-CH²)+BH(CH²-AHBH)=0
(AHBH-CH²)(AH-BH)=0
即AHBH=CH²或AH=BH
因为假如AH=BH,则,根据中垂线定理得AC=BC与题意BC>AC矛盾
所以只能为AHBH=CH²
即AH/CH=CH/BH
又CH是AB边上的高,所以∠CHB=∠CHA=RT角
所以△CHA∽△BHC
所以∠A=∠BCH（∠A为锐角）,所以∠A+∠B=180°-∠CHB=90°
或者∠HCA=∠B（∠A为钝角）,所以∠A-∠B=∠A-∠HCA=∠CHB=90°