正方形ABCD内接于O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G．（1）求证：四边形EBFD是矩形；（2）求证：DG=BE；（3）若点E是劣弧AB

Question

正方形ABCD内接于 O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交 O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G．

（1）求证：四边形EBFD是矩形；
（2）求证：DG=BE；
（3）若点E是劣弧AB的中点，求tan∠ABE的值．

Answer 1

（1）证明：连接BD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∴BD是直径，
∴∠BED=∠BFD=90°，
∵DF∥BE，
∴∠DFB+∠EBF=180°，
∴∠EBF=∠BED=∠BFD=90°，
∴四边形EBFD是矩形．

（2） 连接OA．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=90°，
∴∠DFA=(1)/(2)∠AOB=45°，
∵四边形EBFD是矩形，
∴∠GDF=90°，BE=DF，
∴∠DGF=∠DFG=45°，
∴DG=DF，
∴DG=BE．

（3） 连接OE交AB于H，设正方形ABCD的边长为2a．
∵

AE

=

BE

，
∴∠AOE=∠BOE=45°，OE⊥AB，
在Rt△AHO中，∵AH=OH=a，
∴OA=√(2)AH=√(2)a，
∴EH=OE-OH=√(2)a-a，
∴tan∠ABE=(EH)/(BH)=(√(2)a-a)/(a)=√(2)-1．