若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，（Ⅰ）求abc的最大值；（Ⅱ）求a+1+2b+1+3c+1的最大值．

Question

若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，
（Ⅰ）求abc的最大值；
（Ⅱ）求√(a+1)+√(2b+1)+√(3c+1)的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，
∴6=a+2b+3c≥3

3

a•2b•3c

，∴abc≤(4)/(3)，
当且仅当a=2b=3c即a=2且b=1且c=(2)/(3)时取等号，
∴abc的最大值为(4)/(3)；
（Ⅱ）∵√(a+1)+√(2b+1)+√(3c+1)≤√((a+1+2b+1+3c+1)(1+1+1))=3√(3)，
当且仅当a+1=2b+1=3c+1即a=2且b=1且c=(2)/(3)时取等号，
∴√(a+1)+√(2b+1)+√(3c+1)的最大值为3√(3)