如果一个五位数,它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍.这个五位数的最大值是().

Question

如果一个五位数,它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍.这个五位数的最大值是( ).

Answer 1

乘积是和的25倍,则可知乘积中必然不含0,否则乘积为零,而且必然含有25这个因子,又数字不能超过9,所以5个数字中必有两个5,这两个数之和为10,设剩下三个数字为a,b,c,所以五个数字有下列关系
a*b*c*5*5=25*(a+b+c+5+5)
即a*b*c=a+b+c+10,
又三个数字最大为9,所以上面等式右边最大为9+9+9+10=37,
所以a*b*c不能大于37,
下面从大到小尝试个数字,直到满足a*b*c=a+b+c+10
9,4,1,左边=36,右边=24,不满足
9,3,1,左边=27,右边=23,不满足
9,2,1,左边=18,右边=22,不满足
9,2,2,左边=36,右边=23,不满足
8,4,1,左边=32,右边=23,不满足
8,3,1,左边=24,右边=22,不满足
8,2,1,左边=16,右边=22,不满足
8,2,2,左边=32,右边=23,不满足
7,4,1,左边=28,右边=22,不满足
7,3,1,左边=21,右边=21,满足条件
故最大的五位数是75531
各数字和为21,各数字积为525=25*21
还能看出一些关系,这道题用不上,但以后遇到别的题可能有用
(1)等式两边同时除以a*b*c,得1=1/(b*c)+1/(a*c)+1/(b*a)+10/(a*b*c)
所以可知,a,b,c中不能有两个或三个数是1,而且,三个数之积要大于10,
(2)从a*b*c=a+b+c+10可以看出,a+b+10一定是c的倍数,这样他们的和才能被c整除,对a,b也一样