所有奇数的平方和如何表示如1的平方+3的平方+.+n的平方

Question

所有奇数的平方和如何表示
如1的平方+3的平方+.+n的平方

Answer 1

所有自然数的和：1^2+2^2+3^2+4^2+.n^2=?
利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
所有偶数的和
2^2+4^2+6^2+8^2+.+(2m)^2
=(2*1)^2+(2*2)^2+(2*3)^2+(2*4)^2+.+(2m)^2
=4(1^2+2^2+3^2+4^2+...+m^2)
=4*(1/6)*m*(m+1)*(2m+1)
奇数的和
1^2+2^2+3^2+4^2+.+(1+2n)^2
=(2n+1)(n+1)(4n+3)/3-2n(n+1)(2n+1)/3
=(2n+1)(n+1)(2n+3)/3