如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=2AD，对角线AC与BD相交于点P，过点P作PE∥BC交AB于点E．（1）求证：四边形EBCP是等腰梯形．（2）若直角梯形ABCD的面积为72，AB=10，求△ADC的周长．

Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=2AD，对角线AC与BD相交于点P，过点P作PE∥BC交AB于点E．

（1）求证：四边形EBCP是等腰梯形．
（2）若直角梯形ABCD的面积为72，AB=10，求△ADC的周长．

Answer 1

（1）证明：过A作AM⊥BC，垂足为M，
∵AD∥BC，∠DCB=90°，
∴四边形AMCD是矩形，
∵BC=2AD，
∴AD=MC=BM，
∴AM是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
又∵EP∥BC，
∴∠AEP=∠ABC=∠ACB=∠APE，
∴AE=AP，
∴EB=PC，
∵直线BE、PC相交于点A，
∴EB不平行于PC，
∴四边形EBCP是等腰梯形．
（2）设AD=x，DC=y，
 由（1）得：AB=AC=10，
又∵∠DCB=90°，
∴x²+y²=10²①，
又∵S_梯形ABCD=72，
∴(1)/(2)（x+2x）•y=72，
即xy=48②，
由①、②得：（x+y）²-2xy=100，
∴（x+y）²=196，
即x+y=14，x+y=-14（不合题意舍去），
∴△ADC的周长为：x+y+AC=14+10=24．