求区域Ω的体积V，其中Ω是由半球面z=3a2-x2-y2及旋转抛物面x2+y2=2az所围成（a>0）．

Question

求区域Ω的体积V，其中Ω是由半球面z=√(3a2-x2-y2)及旋转抛物面x²+y²=2az所围成（a>0）．

Answer 1

由题意，半球面z=√(3a2-x2-y2)及旋转抛物面x²+y²=2az的交线为x²+y²=2a²
因此，容易得到立体区域的柱坐标形式为：
Ω={(r，θ，z)|0≤θ≤2π，0≤r≤√(2)a，(r2)/(2a)≤z≤√(3a2-r2)}
从而，体积
V=

∫∫∫

Ω

dV=

∫

2π 0

dθ

∫

√(2)a 0

rdr

∫	√(3a2-r2) (r2)/(2a)

dz=2πa3(√(3)-(5)/(6))