数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an+1SnSn+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=(an+1)/(SnSn+1)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）由S_n=2a_n-a₁，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-a₁，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
化为a_n=2a_n-1．
由a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
∴2（a₂+1）=a₁+a₃，
∴2（2a₁+1）=a₁+4a₁，
解得a₁=2．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）a_n+1=2ⁿ⁺¹，S_n=(2(2n-1))/(2-1)=2ⁿ⁺¹-2，S_n+1=2ⁿ⁺²-2．
b_n=(an+1)/(SnSn+1)=(2n+1)/((2n+1-2)(2n+2-2))=(1)/(2)((1)/(2n-1)-(1)/(2n+1-1))．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=(1)/(2)[((1)/(2-1)-(1)/(22-1))+((1)/(22-1)-(1)/(23-1))+…+((1)/(2n-1)-(1)/(2n+1-1))]
=(1)/(2)(1-(1)/(2n+1-1))．