如图所示，两根半径为r的14圆弧轨道间距为L，其顶端a、b与圆心处等高，轨道光滑且电阻不计，在其上端连有一阻值为R的电阻，整个装置处于辐向磁场中，圆弧轨道所在处的磁感应强度大小

Question

如图所示，两根半径为r的(1)/(4)圆弧轨道间距为L，其顶端a、b与圆心处等高，轨道光滑且电阻不计，在其上端连有一阻值为R的电阻，整个装置处于辐向磁场中，圆弧轨道所在处的磁感应强度大小均为B．将一根长度稍大于L、质量为m、电阻为R₀的金属棒从轨道顶端ab处由静止释放．已知当金属棒到达如图所示的cd位置（金属棒与轨道圆心连线和水平面夹角为θ）时，金属棒的速度达到最大；当金属棒到达轨道底端ef时，对轨道的压力为1.5mg．求：

（1）当金属棒的速度最大时，流经电阻R的电流大小和方向； 
（2）金属棒滑到轨道底端的整个过程中电阻R上产生的热量．
（3）金属棒滑到轨道底端的整个过程中流经电阻R的电量．

Answer 1

（1）金属棒速度最大时，在轨道切线方向所受合力为0，则有：
mgcosθ=BIL
解得：I=(mgcosθ)/(BL)，流经R的电流方向为a→R→b．
（2）在轨道最低点时，由牛顿第二定律得：N-mg=m(v2)/(r)
据题有：N=1.5mg
由能量转化和守恒得：Q=mgr-(1)/(2)mv2=(3)/(4)mgr
电阻R上发热量为：Q_R=(R)/(R+r)Q=(3mgrR)/(4(R+R0))
（3）金属棒滑到轨道底端的整个过程中，穿过回路的磁通量变化量为：
△Φ=BS=B•L•(πr)/(2)=(BLπr)/(2)
平均电动势为：

.

E

=(△Φ)/(△t)，
平均电流为：

.

I

=(.E)/(R+R0)
则流经电阻R的电量：q=

.

I

△t=(△Φ)/(R+R0)=(BLπr)/(2(R+R0))
答：（1）当金属棒的速度最大时，流经电阻R的电流大小为(mgcosθ)/(BL)，流经R的电流方向为a→R→b．
（2）金属棒滑到轨道底端的整个过程中电阻R上产生的热量为(3mgrR)/(4(R+R0))．
（3）金属棒滑到轨道底端的整个过程中流经电阻R的电量为(BLπr)/(2(R+R0))．