为什么椭圆中,短轴的一端点与两焦点所成的角,是椭圆上所有的点与两焦点所成的角中的最大角

Question

为什么 椭圆中,短轴的一端点与两焦点所成的角,是椭圆上所有的点与两焦点所成的角中的最大角

Answer 1

证明出来的.设椭圆方程x²/a²+y²/b²=1,（a＞b＞0）,焦点坐标为F1（-c,0）,F2（c,0）c＞0,点P在椭圆上,令PF1=m,PF2=n,则m+n=2a
cos∠F1PF2=（m²+n²-4c²）/2mn
=[（m+n）²-2mn-4c²]/2mn
=（4a²-2mn-4c²）/2mn
=（4b²-2mn）/2mn
=（2b²/mn）-1
因为m+n=2a,m+n≥2√mn,得mn≤a²,当且仅当m=n=a时等号成立
于是cos∠F1PF2=（2b²/mn）-1≥（2b²/a²）-1,
此时PF1=PF2=a,即点P在椭圆短轴端点,∠F1PF2最大【0,180°之间余越小角越大】