若函数f（x）=x3+ax+b有三个零点，分别为x1，x2，x3，且满足x1＜1，x2=1，x3＞1，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，0）B．（-∞，-1）C．（-∞，-2）D．（-∞，-3）

Question

若函数f（x）=x³+ax+b有三个零点，分别为x₁，x₂，x₃，且满足x₁＜1，x₂=1，x₃＞1，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，0）
B．（-∞，-1）
C．（-∞，-2）
D．（-∞，-3）

Answer 1

因为x₂=1，所以f（1）=a+b=0，即b=-a，
所以f（x）=x³+ax+b=x³+ax+-a．
函数导数为f'（x）=3x²+a，因为f（x）=x³+ax+b有三个零点，所以f'（x）=0，有两个不等的实根，所以a＜0．
则由f'（x）=0得x═±√(−(a)/(3))．
即当x=−√(−(a)/(3))函数取得极大值，当x=√(−(a)/(3))时，函数取得极小值．
因为x₁＜1，x₃＞1，
所以√(−(a)/(3))＞1，解得a＜-3．
故选D．