如图，P是线段AB上异于端点的动点，且AB=6，分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APM和等边△BPN，则△MNP外接圆半径的最小值为．

Question

如图，P是线段AB上异于端点的动点，且AB=6，分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APM和等边△BPN，则△MNP外接圆半径的最小值为___．

Answer 1

分别作∠A与∠B角平分线，交点为O，连接OC，
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AO与BP为CD、CE垂直平分线．
∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，即圆心O是一个定点，
若半径OC最短，则OC⊥AB．
又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=3，
∴OA=OB，
∴AC=BC=3，
∴在直角△AOC中，OC=AC•tan∠OAC=3×tan30°=√(3)，
故答案为：√(3)．