数列{an}的前n项和为Sn，若an+1=-4Sn+1，a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n+1=-4S_n+1，a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵a_n+1=-4S_n+1，a₁=1，
∴Sn＝(1−an+1)/(4)，
a_n=S_n-S_n-1=(1−an+1)/(4)−(1−an)/(4)=(an−an+1)/(4)，
∴4a_n=a_n-a_n+1，
∴a_n+1=-3a_n，
∴(an+1)/(an)＝−3，∵a₁=1，
∴a_n=（-3）^n-1．
（2）∵b_n=na_n=n（-3）^n-1，
∴T_n=1•（-3）⁰+2•（-3）+3•（-3）²+…+n（-3）^n-1，①
-3T_n=1•（-3）+2•（-3）²+3•（-3）³+…+n•（-3）ⁿ，②
①-②，得：
4T_n=（-3）⁰+（-3）+（-3）²+…+（-3）^n-1-n•（-3）ⁿ
=(1−(−3)n)/(1+3)-n•（-3）ⁿ，
=(1)/(4)−((1)/(4)+n)•(−3)n，
∴T_n=(1)/(16)−((1)/(16)+(n)/(4))•(−3)n．