设a>b>c,k∈R,且（a-c）*((1/a-b)+(1/b-c)≥k恒成立,则k的最大值为.

Question

设a>b>c,k∈R,且（a-c）*((1/a-b)+(1/b-c) ≥k恒成立,则k的最大值为________.

Answer 1

a－c>0,a－b>0,b－c>0.设a－b=m,b－c=n,则：m>0,n>0,且a－c=m＋n.从而：
(a－c)[1/(a－b)＋1/(b－c)]=(m＋n)[1/m＋1/n]=2＋(n/m＋m/n),其最小值是4【利用基本不等式,且三要素全部满足】,则k≤4,从而k的最大值是4.