已知关于x的一元二次方程x2+2x+k-12=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x2+2x+k-12的图象向下平移9个单位，求平移后的图象的表达

Question

已知关于x的一元二次方程x²+2x+(k-1)/(2)=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x²+2x+(k-1)/(2)的图象向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；
（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线y=kx+b（k>0）过点B，且与抛物线的另一个交点为C，直线BC上方的抛物线与线段BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于-5时，求k的取值范围．

Answer 1

（1）∵关于x的一元二次方程x²+2x+(k-1)/(2)=0有实数根，
∴△=b²-4ac=4-4×(k-1)/(2)≥0，
∴k-1≤2，
∴k≤3，
∵k为正整数，
∴k的值是1，2，3；
（2）∵方程有两个非零的整数根，
当k=1时，x²+2x=0，不合题意，舍去，
当k=2时，x²+2x+(1)/(2)=0，
方程的根不是整数，不合题意，舍去，
当k=3时，x²+2x+1=0，
解得：x₁=x₂=-1，符合题意，
∴k=3，
∴y=x²+2x+1，
∴平移后的图象的表达式y=x²+2x+1-9=x²+2x-8；
（3）令y=0，x²+2x-8=0，
∴x₁=-4，x₂=2，
∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），
∴A（-4，0），B（2，0），
∵直线l：y=kx+b（k>0）经过点B，
∴函数新图象如图所示，当点C在抛物线对称轴左侧时，新函数的最小值有可能大于-5，
令y=-5，即x²+2x-8=-5，
解得：x₁=-3，x₂=1，（不合题意，舍去），
∴抛物线经过点（-3，-5），
当直线y=kx+b（k>0）经过点（-3，-5），（2，0）时，
可求得k=1，
由图象可知，当0<k<1时新函数的最小值大于-5．