在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D

Question

在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE， A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．
例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．

（1）若点A（-1，2），四边形ABCD为直线x=-1的“位置矩形”，则点D的坐标为___；
（2）若点A（1，2），求直线y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面积；
（3）若点A（1，-3），直线l的“位置矩形”面积的最大值为___，此时点D的坐标为___．

Answer 1

（1）如图1，

点D的坐标为（-1，0）．
故答案为（-1，0）；

（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2．

∵点A的坐标为（1，2），
∴AC=AO=√(5)，AF=1，OF=2．
∵点A（1，2）在直线y=kx+1上，
∴k+1=2，
解得k=1．
设直线y=x+1与y轴相交于点G，
当x=0时，y=1，点G（0，1），OG=1，
∴FG=OF-OG=2-1=1=AF，
∴∠FGA=45°，AG=√(2)．
在Rt△GAB中，AB=AG•tan45°=√(2)．
在Rt△ABC中，BC=√(AC2-AB2)=√(3)．
∴所求“位置矩形”ABCD面积为AB•BC=√(6)；

（3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y，
则有x²+y²=AC²=AO²=1²+3²=10．
∵（x-y）²=x²+y²-2xy=10-2xy≥0，
∴xy≤5．
当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形． 
①当点D在第四象限时，如图3，

过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N，
∵∠BAM+∠DAN=90°，∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DAN，
在RtAMB和Rt△DNA中，

∠AMB=∠DNA

∠ABM=∠DAN

AB=AD

，
∴RtAMB≌Rt△DNA，
则有AN=BM=2，DN=AM=1，
∴点D的坐标为（1+2，-3+1）即（3，-2）．
②当点D在第三象限时，如图4，

过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M，
同①的方法得：RtANB≌Rt△DMA，
则有DM=AN=1，AM=BN=2，
∴点D的坐标为（1-2，-3+1）即（-1，-2）．  
故答案为：5、（3，-2）或（-1，-2）．