如图,二次函数y=1/2x2-x+c的图象与x轴分别交于A,B两点,顶点M关于X轴的对称点是M`.是否存在抛物线y=1/2x2-x+c,使得四边形AMBM`为正方形?若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.

Question

如图,二次函数y=1/2x2-x+c的图象与x轴分别交于A,B两点,顶点M关于X轴的对称点是M`.
是否存在抛物线y=1/2x2-x+c,使得四边形AMBM`为正方形?若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.

Answer 1

y=(1/2)(x-1)²+c-1/2
顶点M（1,c-1/2),对称点m(1,1/2-c)
即Mm=|2c-1|
因AMBm为正方形
所以AB=|2c-1|,且AB关于x=1对称
x1+x2=2,即(x1+x2)²=4
x1x2=2c
|x1-x2|=2c-1,即(x1-x2)²=4c²-4c+1
所以
4c²-4c+1=4-4*2c
即4c²+4c-3=0
(2c-1)(2c+3)=0
解得c=1/2（不合）或c=-3/2
综上可得此抛物线的函数关系式为y=(1/2)x²-x-3/2