证明：当x→0时,（1+x）^(1/n)-1~(等价)x/n

Question

证明：当x→0时,（1+x）^(1/n)-1~(等价)x/n

Answer 1

很显然x趋于0的时候,
(1+x)^(1/n)-1和x/n都趋于0,
满足洛必达法则使用的条件,
故
极限
lim(x->0) [(1+x)^(1/n)-1] / (x/n) 对分子分母同时求导
=lim(x->0) [(1/n) *(1+x)^(1/n -1)] / (1/n)
=lim(x->0) (1+x)^(1/n -1) 代入x=0
=1
因此在x→0时,
(1+x)^(1/n)-1等价于 x/n