已知：如图，△ABC中，点D是BC边上的一点，∠ADE=∠ABC=60°，DE交∠ABC的外角平分线于点E．求证：△ADE是等边三角形．

Question

已知：如图，△ABC中，点D是BC边上的一点，∠ADE=∠ABC=60°，DE交∠ABC的外角平分线于点E．求证：△ADE是等边三角形．

Answer 1

证明：在线段BA上截取BM，使BM=BD．
∵∠ABC=60°，
∴△BDM为等边三角形，∠ABF=120°，
∴DM=DB，∠BDM=∠BMD=60°，∠AMD=120°，
又∵BE平分∠ABF，

∴∠DBE=120°，
∴∠AMD=∠DBE，
∵∠ADE=∠BDM=60°，
∴∠1=∠2．
在△ADM和△EDB中

∠AMD=∠DBE

DM=DB

∠1=∠2

，
∴△ADM≌△EDB（ASA），
∴AD=ED．
∴△ADE为等边三角形．