一束很细的圆柱形的电子束由速度为v0的匀速运动的电子组成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含n个电子，每个电子的电荷量为mv=Mv2-mv1，质量为m．如图1，该电子束从

Question

一束很细的圆柱形的电子束由速度为v₀的匀速运动的电子组成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含n个电子，每个电子的电荷量为mv=Mv₂-mv₁，质量为m．如图1，该电子束从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器，平行板电容器的A、B两个极板上各开一个小孔，使电子束可以不受阻碍地经由小孔穿过电容器．设电容器两极板间的距离很小，电子穿过电容器所需时间可以忽略，不计电子间相互影响及重力．

（1）在两极板上加上恒定的电压U_AB=(mv02)/(6e)，则：
①一个电子经过电容器之后，速度将变为多大？
②若电子束的长度为L₀，则通过电容器之后，其长度将变为L₀的多少倍？
（2）在两极板A、B之间加上如图2所示的周期性变化的电压U_AB（图中只画出了一个周期的图线），正向电压和负向电压的绝对值均为(mv02)/(6e)，周期为T．若以τ表示每个周期中电压处于正向的时间间隔，则电压处于反向值的时间间隔为T-τ．一束长度为v₀T的电子束恰好在t=0时到达电容器，在t=T时全部通过电容器．已知τ的值恰好能使这些电子于某一时刻t₁在电容器右侧形成均匀分布的一段电子束．求：
①(τ)/(T)和(t1)/(T)的值；
②在电容器右侧距电容器x=(3)/(5)v₀处取一个垂直于电子运动方向的截面，则在t=T时，通过此截面的瞬时电流强度是多少？

Answer 1

（1）①设电子通过电容器后速度变为v₁，由动能定理得：
(1)/(2)m

v

2 1

-(1)/(2)m

v

2 0

=-UABe，
解得：v1=(√(6))/(3)v0；
②设长度为L₀的粒子束通过电容器后长度变为L，则有：(L)/(v1)=(L0)/(v0)，
解得：(L)/(L0)=(√(6))/(3)；
（2）①电压为反向时，电子通过后速度将增大，设为v₂，由动能定理得：
(1)/(2)m

v

2 2

-(1)/(2)m

v

2 0

=(mv20)/(6e)•e，
解得：v2=(2√(3))/(3)v0，
t=0至t=τ期间通过的电子束将变得密集，t=τ至t=T期间通过的电子束将变得稀疏．
要使空间中在某一时刻能出现分布完全均匀的一段电子束，
需要使稀疏电子束的长度和密集电子束的长度相同：v₁τ=v₂（T-τ），
解得：(τ)/(T)=(√(2))/(√(2)+1)=2-√(2)，
该t₁时刻需满足，稀疏电子束刚好追赶上密集的电子束：v₁t₁=v₂（t₁-τ），
解得：(t1)/(T)=2；
②t=T时，密集段电子束的前端位于电容器右侧x1=(√(6))/(3)v0T＞(3)/(5)v0T处，
末端位于电容器右侧x2=(√(6))/(3)v0(T-τ)=(√(2)-1)(√(6))/(3)v0T＜(3)/(5)v0T，
所以密集段电子束正通过电容器右侧距电容器x=(3)/(5)v0T处的截面；
稀疏段电子束的前端位于电容器右侧x1=(2√(3))/(3)v0(T-τ)＜(3)/(5)v0T处；
上述判断可得此时刻只有密集段电子束通过该截面，所以，通过该处电流I=nev₀；
答：（1）①一个电子经过电容器之后，速度将变为(√(6))/(3)v₀；
②若电子束的长度为L₀，则通过电容器之后，其长度将变为L₀的(√(6))/(3)倍；
（2）①(τ)/(T)和(t1)/(T)的值分别为：2-√(2)、2；
②在电容器右侧距电容器x=(3)/(5)v₀处取一个垂直于电子运动方向的截面，则在t=T时，通过此截面的瞬时电流强度是nev₀．