直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化

Question

直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B 在射线OM上运动，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小．
（2）如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，则∠ABO=___；如图3，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，则∠ABO=___；
（3）如图4，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，则∠EAF=___；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的 (3)/(2)倍，求∠ABO的度数．

Answer 1

（1）∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC=(1)/(2)∠PAB，∠ABC=(1)/(2)∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=(1)/(2)（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；
（2）∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案为：30°，60°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=(1)/(2)∠BAO，∠EOQ=(1)/(2)∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=(1)/(2)（∠BOQ-∠BAO）=(1)/(2)∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．  
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的(3)/(2)倍，故有：
①∠EAF=(3)/(2)∠E，∠E=60°，∠ABO=120°；
②∠EAF=(3)/(2)∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
③∠F=(3)/(2)∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
④∠E=(3)/(2)∠F，∠E=54°，∠ABO=108°．
∴∠ABO为60°或120°或72°或108°．