在平面直角坐标系中xoy,已知圆x^2+y^2-12x+32=0圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B是否存在常数k,使得向量OA+向量OB于向量PQ共线?如果存在,求k,如果不存在,说明理由“因

Question

在平面直角坐标系中xoy,已知圆x^2+y^2-12x+32=0圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B
是否存在常数k,使得向量OA+向量OB于向量PQ共线?如果存在,求k,如果不存在,说明理由
“因为 P（0,2）Q（6,0）向量PQ=（6,-2）
所以 向量OA+向量OB与向量PQ共线等价于（X1+X2)=6(y1+y2)”
这个步骤是怎么得来的?

Answer 1

在平面直角坐标系中xoy,已知圆x²+y²-12x+32=0圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B；是否存在常数k,使得向量OA+向量OB与向量PQ共线?如果存在,求k,如果不存在,说明理由

圆Q：(x-6)²+y²=4,圆心Q(6,0)；半径R=2；
设过P(0,2)的直线方程为y=kx+2,代入园的方程得：x²+(kx+2)²-12x+32=0,化简得：
(1+k²)x²+4(k-3)x+36=0,设A(x₁,y₁)；B(x₂,y₂)；则
OA+OB=(x₁+x₂,y₁+y₂)；其中x₁+x₂=-4(k-3)/(1+k²)=4(3-k)/(1+k²)；
y₁+y₂=kx₁+2+kx₂+2=k(x₁+x₂)+4=4k(3-k)/(1+k²)+4=4(3k+1)/(1+k²)；
PQ=(6,-2)；和向量OA+OB与向量PQ共线,则它们在坐标轴上的射影成正比例,即有：
(x₁+x₂) ：6=(y₁+y₂) ：(-2),也就是-2(x₁+x₂)=6(y₁+y₂),代入x₁+x₂和y₁+y₂的值
并消去分母1+k²,即得：
-8(3-k)=24(3k+1)；即有-(3-k)=3(3k+1),8k=-6,故k=-6/8=-3/4.
注：你写的：向量OA+向量OB与向量PQ共线等价于（X₁+x₂)=6(y₁+y₂) 好像有错!