已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，等腰直角三角形BEF的斜边在AB上，点G是AF的中点，联结EG，CG，求证：EG⊥CG．

Question

已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，等腰直角三角形BEF的斜边在AB上，点G是AF的中点，联结EG，CG，求证：EG⊥CG．

Answer 1

证明：作GH⊥AB，垂直是G．
则△AGH是等腰直角三角形，
∴AG=GH，
设AC=CB=a，BE=EF=b．
由勾股定理可得：AB=√(2)a，BF=√(2)b．
又∵点G是AF的中点，
∴GF=GH=AG=(√(2))/(2)（a-b）．
在直角△AGH中，AH=a-b，
∴CH=AC-AH=a-（a-b）=b，又EF=b，
∴GF=CH，∠GFE=135°，∠GHC=135°，
在△EGF和△GCH中，

GF=EF

∠EFE=∠GHC

GF=GH

∴△GEF≌△GCH（SAS），
∴∠EGF=∠CGH，
∴∠EGC=∠EGF+∠FGC=∠CGH+∠FGC=90°，
∴EG⊥CG．