如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以3cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，

Question

如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以

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cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动． 设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A、C时，请说明PQ ∥ BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，
∴AB=BC=2，∠BAC= (1)/(2) ∠DAB，
又∵∠DAB=60°（已知），
∴∠BAC=∠BCA=30°；
如图1，连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA= (1)/(2) AC，
∴OB= (1)/(2) AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴OA=

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（cm），AC=2OA=2

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（cm），
运动ts后， AP=

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t，AQ=t ，
∴ (AP)/(AQ) =(AC)/(AB) =

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又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ ∽ △CAB，
∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），
∴PQ ∥ BC（同位角相等，两直线平行）…5分

（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM= (1)/(2) PC=

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-(3)/(2) t
由PM=PQ=AQ=t，即

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-(3)/(2) t =t
解得t=4

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-6，此时⊙P与边BC有一个公共点；

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1
∴ 当4

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-6＜t≤1 时，⊙P与边BC有2个公共点．

如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2

3

-

3

t=t，∴t=3-

3

．
∴当1＜t≤3-

3

时，⊙P与边BC有一个公共点，
当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点，
∴当t=4

3

-6或1＜t≤3-

3

或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；
当4

3

-6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．