．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求二面角A—BC—D的余弦值；（3）求点O到平面ACD的距离．

Question

．（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=

（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A—BC—D的余弦值；
（3）求点O到平面ACD的距离．

Answer 1

解法一：（1）连接OC，
∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AB=2，AC= ，
∴AO= CO= ．…………………………3分
在△AOC中，∵AO2+ CO2= AC2，
∴∠AOC=90o，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD．………………4分
（2）过O作OE⊥BC于E，连接AE，∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影为OE，∴AE⊥BC，
∴∠AEO为二面角A—BC—D的平面角．………………6分
在Rt△AEO中，AO= ，OE= ，
tan∠AEO= =2，cos∠AEO= ，
∴二面角A—BC—D的余弦值为 ．……………………8分
（3）设点O到平面ACD的距离为h．
∵VO—ACD= VA—OCD，∴ S △ACD·h—= S△OCD·AO．
在△ACD中，AD= CD=2，AC= ，  
S△ACD= · ．
而AO= ，S△OCD= ，
∴ ，
∴点O到平面ACD的距离为 ．…………………………12分
解法二：（1）同解法一．……………………………………4分
（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则 …………5分
∵AO⊥平面BCD，
∴平面BCD的法向量 =（0，0， ）…………6分
设平面ABC的法向量n=（x，y，z），
=（0，-1，- ）， =（ ，1，0）．

n ·

 

n ·

 

       由  n=（1，- ，1）．

| n |·

 

n ·

 

       设n与 的夹角为 ，则|cos |= = ，

         ∴二面角A—BC—D的余弦值为 ．…………………………8分
（3）设平面ACD的法向量m=（x，y，z），

作业帮用户 2016-12-16

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