如图所示，一水平的足够长的浅色长传送带与平板紧靠在一起，且上表面在同一水平面．传送带上左端放置一质量为m=1kg的煤块（视为质点），煤块与传送带及煤块与平板上表面之间的动摩

Question

如图所示，一水平的足够长的浅色长传送带与平板紧靠在一起，且上表面在同一水平面．传送带上左端放置一质量为m=1kg的煤块（视为质点），煤块与传送带及煤块与平板上表面之间的动摩擦因数为均为μ₁=0.1．初始时，传送带与煤块及平板都是静止的．现让传送带以恒定的向右加速度a=3m/s²开始运动，当其速度达到v=1.5m/s后，便以此速度做匀速运动．经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动，随后，在平稳滑上右端平板上的同时，在平板右侧施加一个水平恒力F=17N，F作用了0.5s时煤块与平板速度恰相等，此时刻撤去F．最终煤块没有从平板上滑下，已知平板质量M=4kg，（重力加速度为g=10m/s²），求：

（1）传送带上黑色痕迹的长度；
（2）有F作用期间平板的加速度大小；
（3）平板上表面至少多长（计算结果保留两位有效数字）？

Answer 1

（1）煤块在传送带上发生相对运动时，加速度a₁=(μ1mg)/(m)=μ₁g=0.1×10m/s²=1 m/s²，方向向右；
设经过时间时t₁，传送带达到速度v，经过时间时t₂，煤块速度达到v，
即v=at₁=a₁t₂，代值可得t₁=0.5s，t₂=1.5s，
传送带发生的位移s=(v2)/(2a)+v（t₂-t₁）=(1．52)/(2×3)+1.5×1m=1.875m，
煤块发生的位移s′=(v2)/(2a1)=(1．52)/(2)=1.125m，
黑色痕迹长度即传送带与煤块发生的位移之差，即：△s=s-s′，
代入数据解得△s=0.75m．
（2）煤块滑上平板时的速度为v₀=1.5m/s，加速度为a₁=(μ1mg)/(m)=μ₁g=1m/s²，
经过t₀=0.5s时速度v=v₀-a₁t₀=1.5-1×0.5m/s=1.0m/s，
平板的加速度大小a₂，则由v=a₂t₀=1.0m/s，
解得  a₂=2 m/s²．
（3）设平板与地面间动摩擦因数为μ₂，由a₂=2 m/s²，
且Ma₂=（F+μ₁mg）-μ₂（mg+Mg），代入数据解得μ₂=0.2，
由于μ₂>μ₁，共速后煤块将仍以加速度大小a₁=(μ1mg)/(m)=μ₁g匀减速，直到停止，
而平板以加速度a₃匀减速运动，Ma₃=μ₁mg-μ₂（mg+Mg），
代入数据解得a₃=-2.25 m/s²，用时t₃=(v)/(a3)=(1)/(2.25)s=(4)/(9)s，
所以，全程平板的位移为  S_板=(0+v)/(2)(t0+t3)=(1)/(2)×(0.5+(4)/(9))=(17)/(36)m，
煤块的位移S_煤=(v02)/(2a1)=(1．52)/(2)m=(9)/(8)m，
平板车的长度即煤块与平板的位移之差，L=S_煤-S_煤=(47)/(72)m=0.65m．
答：（1）传送带上黑色痕迹的长度为0.75m；
（2）有F作用期间平板的加速度大小为2m/s²；
（3）平板上表面至少0.65m．