∫dx/(sinx+tanx)=?请做出-1/2sin^2x+cosx/2sin^2x+ln(csct-cotx)+c的结果

Question

∫dx/(sinx+tanx)=?
请做出 -1/2sin^2x+cosx/2sin^2x+ln(csct-cotx)+c的结果

Answer 1

∫［1/（sinx＋tanx）］dx
＝∫［cosx/（sinxcosx＋sinx）］dx＝∫｛cosx/［sinx（1＋cosx）］｝dx
＝∫｛sinxcosx/［（sinx）^2（1＋cosx）］｝dx
＝－∫｛cosx/［（sinx）^2（1＋cosx）］｝d（cosx）.

令cosx＝u,则（sinx）^2＝1－u^2.
∴∫［1/（sinx＋tanx）］dx
＝－∫｛u/［（1－u^2）（1＋u）］｝du
＝－∫｛（1＋u－1）/［（1－u^2）（1＋u）］｝du
＝－∫［1/（1－u^2）］du＋∫｛1/［（1－u^2）（1＋u）］｝du
＝－∫［1/（1－u^2）］du＋（1/2）∫｛（1＋u＋1－u）/［（1－u^2）（1＋u）］｝du
＝－∫［1/（1－u^2）］du＋（1/2）∫［1/（1－u^2）］du＋（1/2）∫［1/（1＋u）^2］du
＝－（1/2）∫［1/（1－u^2）］du＋（1/2）∫［1/（1＋u）^2］du
＝－（1/4）∫［（1＋u＋1－u）/（1－u^2）］du－（1/2）［1/（1＋u）］
＝－（1/4）∫［1/（1－u）］du－（1/4）∫［1/（1＋u）］du－（1/2）［1/（1＋cosx）］
＝（1/4）ln｜1－u｜－（1/4）ln｜1＋u｜－（1/2）（1－cosx）/［1－（cosx）^2］＋C
＝（1/4）ln［（1－cosx）/（1＋cosx）］－（1/2）（1－cosx）/（sinx）^2＋C
＝（1/4）ln［（1－cosx）^2/（sinx）^2］－（1/2）（1－cosx）/（sinx）^2＋C
＝（1/2）ln［（1－cosx）/sinx］－1/［2（sinx）^2］＋cosx/［2（sinx）^2］＋C
＝－1/［2（sinx）^2］＋cosx/［2（sinx）^2］＋（1/2）ln（secx－cotx）＋C.

注：你所给出的答案是错误的.也许是你不小心造成的,请认真核查.