（2012•东莞模拟）如图，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）求证：△CFP∽△CPD；（3）如果CF=1，

Question

（2012•东莞模拟）如图，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）求证：△CFP∽△CPD；
（3）如果CF=1，CP=2，sinA=(4)/(5)，求O到DC的距离．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵BC为直径，
∴△BDC为直角三角形．
在Rt△ADB中，E为AB中点，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB．
又∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠OBD+∠ABD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°．
∴ED是⊙O的切线．

（2）证明：∵PF⊥BC，
∴∠FPC=90°-∠BCP（直角三角形的两个锐角互余）．
∵∠PDC=90°-∠PDB（直径所对的圆周角是直角），∠PDB=∠BCP（同弧所对的圆周角相等），
∴∠FPC=∠PDC（等量代换）．
又∵∠PCF是公共角，
∴△PCF∽△DCP．

（3）过点O作OM⊥CD于点M，
∵△PCF∽△DCP，
∴PC²=CF•CD（相似三角形的对应边成比例）．
∵CF=1，CP=2，
∴CD=4．
可知sin∠DBC=sinA=sin∠MOC=(4)/(5)，
∴(DC)/(BC)=(4)/(5)，即(4)/(BC)=(4)/(5)，
∴直径BC=5，
∴(MC)/(CO)=(4)/(5)，
∴MC=2，
∴MO=(3)/(2)，
∴O到DC的距离为(3)/(2)．