设正项级数∑an收敛，证明∑a2n亦收敛；试问反之是否成立？

Question

设正项级数∑an收敛，证明∑

a

2 n

亦收敛；试问反之是否成立？

Answer 1

设s=

∞

n=1

an，由级数

∞

n=1

an收敛，知
存在M>0，使得∀n∈N，有|a_n|≤M
∴

∞

n=1

an2≤

∞

n=1

Mun=Ms
故级数

∞

n=1

un2也收敛
但反之不成立，例如：

∞

n=1

(1)/(n2)收敛，但调和级数

∞

n=1

(1)/(n)是发散的．